Анализ методов подтверждения соответствия точностных характеристик систем управления самолетов нормам летной годности

Требования к точностным характеристикам систем автоматического управления движением самолета подразделяются на две группы. Пер­вая группа регламентирует эксплуатационные требования, наруше­ние которых не приводит к возникновению особых ситуаций в поле­те. Они нормируют вероятность (Л, = 0,95) невыхода параметров движения самолета из сравнительно узкой трубки отклонений. Во вторую группу входят требования, определяющие уровень безопас­ности полета. Область допустимых значений характеризуется пре­дельно допустимыми изменениями параметров движения самолета (Л, =0,9999-0,9999999).

Соответствие системы предъявляемым требованиям оценивается на основе проведения независимых статистических испытаний в ожи­даемых условиях эксплуатации с учетом вероятности их реализации: математического моделирования, полунатурных и натурных испыта­ний.

В табл. 15.1 приведен перечень требований первой группы к са­молеты ТУ-204 и ИЛ-96.

Требования к перечисленным точностным характеристикам зада­ются в вероятностной форме в виде одного из следующих условий:

/>{дс t Хд} S Rj, (15.1)

Р{ха1 ^х^дсдг}^^,

где хд, хд1, Хд2 — допустимые значения точностных характеристик; iij — заданное значение вероятности (чаще всего Rj = 0,95). Тре­бования должны быть подтверждены с доверительной вероятностью Y = 0,9.

Таким образом, общее правило подтверждения требований к ве­роятности выполнения условий (15.1) находится путем построения толерантного интервала:

в

jp(x)dx>R3

где р(х) — плотность распределения вероятности характеристики х.

Различают параметрические и непараметрические толерантные интервалы.

Таблица 15.1 Перечень точностных характеристик управления самолетов ИЛ-96 и ТУ-204 Режим Точностные характеристики Совмещенное управление (фаза стабилизации) Установившаяся ошибка стабилизации углов курса, крена и тангажа Стабилизация высоты Установившаяся ошибка стабилизации высоты Посадка: заход на посадку Отклонения скорости полета, отклонения приземление относительно равносигнальных зон Продольный разброс точек касания, боковое отклонение пробег Величина послепосадочного пробега Курсовая зона Ошибка стабилизации расчетной траектории захода на посадку в горизонтальной плоскости Уход на второй круг Ошибка стабилизации на продолженной оси взлетно-посадочной полосы Ошибка стабилизации нулевого крена Точность отработки программы по скорости в установившихся режимах Взлет Отклонение от оси взлетно-посадочной полосы в процессе разбега при нормальном и прерванном взлете Ошибка стабилизации на продолженной оси взлетно-посадочной полосы Ошибка стабилизации нулевого крена Точность отработки программы по скорости на установившихся режимах Стабилизация числа оборотов Точность отработки заданного числа оборотов Стабилизация скорости и числа М Ошибки стабилизации заданных приборной скорости или числа М на режимах маршрутного полета

Параметрический толерантный интервал зависит от р(х). Так, для нормального распределения N(m, а2) с неизвестными парамет­рами т и а2 двусторонний параметрический толерантный интервал имеет вид:

x+Ks

Р< J p(x)dx > R3 > = у,

x-Ks

где

Так, при выборе s = п (п — объем выборки), г — 1 непараметрический

толерантный интервал имеет вид

1 -Ir, (л-1, 2) = у,

где Id — неполная бета-функция, или

т. е. /1Л3"1 -(л-І)/^ = 1-у.

Для одностороннего непараметрического толерантного интерва­ла наименьшие целые значения п должны удовлетворять неравенству:

Проведем анализ ряда статистических методов, которые исполь­зуются в настоящее время или могут быть использованы в перспекти­ве для подтверждения требований к точностным характеристикам.

Непараметрический метод подтверждения требований к точнос­тным характеристикам (метод <гпроходит — не проходит»). Этот метод основан на использовании в качестве статистической моде­ли получения информации биномиального распределения вероят­ности, описывающего вероятность появления d отказов при про­ведении п независимых испытаний с постоянной вероятностью успешного исхода R.

В качестве оценки неизвестного параметра R используется со­стоятельная несмещенная эффективная оценка вероятности по час­тоте: R = -d/n. Дисперсия этой оценки d(r) = R(l-R)/n нелинейно зависит от самого оцениваемого параметра и неудобна для характери­стики точности. Поэтому для определения точности оценки исполь­зуется универсальная характеристика точности — доверительный ин-

K~r<-R[4]Y = i-y2; =Tl,

тервал, определяемый в соответствии с уравнениями Клоппера-Пир — сона:

где Лц, — соответственно нижняя и верхняя доверительные грани­цы; Yj + у2 -1 = у — доверительные вероятности.

Односторонние интервалы, используемые в дальнейшем, полу­чают из условия у. = 1 либо у2 = 1.

Подтверждение требований к точностным характеристикам сис­тем управления формулируется в виде решающих правил при провер­ке следующих статистических гипотез:

Соответствующие решающие правила имеют вид: • правило приемки системы

Выбор нулевой гипотезы имеет решающее значение. Так, ошиб­ка первого рода (риск изготовителя) при принятии гипотезы прием­ки составляет значительную величину (а = у), в то время как ошиб­ка второго рода (риск заказчика) достаточна мала (р = 1 — у). При принятии гипотезы браковки риск изготовителя а = 1 — у, а риск за­казчика Р = у.

Приемка и браковка системы требуют проведения различного объема испытаний. Например, при отсутствии отказов для принятия системы с R3 = 0,95 и у = 0,9 необходимо провести 46 испытаний; забракована система быть не может, так как при d = 0, Дв = 1. При
одном отказе для приемки системы требуется уже 77 испытаний, а для ее браковки достаточно трех испытаний. Заметим, что левая часть решающего правила приемки представляет собой значение ин­тегрального закона распределения случайной величины d при R = R^.

Таким образом, вероятность получения числа отказов, меньшего или равного d, при приемке системы мала (< 1 — у). Для того чтобы при данном объеме испытаний п реализовалось число отказов d с достаточно большой вероятностью, истинное значение Л должно быть существенно большим, чем R3. Это значение может быть определено из соотношения для верхней доверительной границы при подстанов­ке в нее приемочного значения п

Аналогично, для того чтобы реализовалось число отказов, необ­ходимое для браковки системы, истинное значение вероятности R должно быть существенно меньше заданного значения и может опре­деляться из соотношения для нижней доверительной границы при подстановке в нее браковочного значения п:

(1 — R)r = 1 — у.

Так, для приведенных выше числовых значений такие «запасы» веро­ятности R составляют:

• при приемке системы, если d= 0, то R = 0,9988; если d =1, то R = 0,995;

• при браковке системы, если d =1, то R = 0,368.

Поэтому при проведении испытаний, как правило, ни принять, ни забраковать систему непараметрическим методом не удается, можно лишь построить достаточно широкую интервальную оценку искомой вероятности.

Однако системы автоматической посадки самолетов ИЛ-96 и ТУ — 204 были сертифицированы в соответствии с правилом «проходит — не проходит», что свидетельствует о больших «запасах» по точност­ным характеристикам этих систем и возможности расширения допус­тимых условий их применения.

Параметрический метод подтверждения требований к точност­ным характеристикам. При этом методе требуется более полная ин­формация о статистических свойствах исследуемой характеристики, поэтому объем испытаний меньше. В том случае, если известен за­кон распределения исследуемой характеристики х, подтверждение тре-

бований к вероятности нахождения характеристики в допуске прово­дится аналитически и не требуются испытания вообще. Так, для од­ностороннего допуска Рх < хд J > и нормального закона распре­

деления характеристики х ~ N(m, о2) решающее правило приемки системы имеет вид:

т+и^о<хд,

где U d — квантиль стандартного нормального распределения.

X (*/-»*)>

Однако при проведении испытаний параметры т, а неизвестны и оцениваются путем обработки данных испытаний:

где Xj — измерения оцениваемой характеристики в /-м испытании (/ = 1,…,л).

Для получения решающих правил приемки и браковки системы необходимо знать распределение случайной величины z = x + Ks, где коэффициент К > Up учитывает отличие статистических оценок от

истинных значений оцениваемых параметров.

В [27] показано, что случайная величина z приблизительно нор­мальна начиная уже с п £5 и имеет математическое ожидание M[z] = т + Ко и дисперсию

ВД = а2[і/л + *2/(2(л-1))],

что позволяет построить нижнюю доверительную границу:

ностью у случайная величина x + Ks>m+URO. Следовательно, уело-
виє x + Ks <ха обеспечивает с вероятностью у подтверждение требо­вания R> приемки системы.

Так, для Rj = 0,95; у = 0,9; U в = 1,645 значение коэффициента К

изменяется от 3,4 (л = 5) до 1,703 (л = 1000).

Для получения условия браковки системы рассмотрим верхнюю доверительную границу:

стью у случайная величина x + K’s <m + UpC. Следовательно, усло­вие x + Ks>x„ обеспечивает с вероятностью у выполнение условия R<R3 браковки системы.

Для приведенных выше значений Я,, у значение коэффициента

А-‘изменяется от 0,933 (л = 5) до 1,584 (л = 1000).

Для сравнения непараметрического и параметрического методов рассчитываем «запасы» вероятности выполнения задачи для л = 46:

• приемка системы R = 0,99;

• браковка системы R = 0,867.

Таким образом, «запасы» в этом случае существенно меньше или достигаются при значительно меньшем объеме испытаний, составля­ющем для данного примера:

• приемка системы d = 0, л = 14;

d = 1, л = 25;

• браковка системы d = 1, л = 2.

Преимущества параметрического подхода растут с увеличением требуемой вероятности выполнения задачи. Так, при А, = 0,99;

у = 0,95 имеем:

• приемка системы d = 0, п = 229;

d= «н’п = 388> йп. п = 36;

• браковка системы d = 1, пнп = 10, пип = 6,

где ппп, пнп — соответственно объемы испытаний при параметри­ческом и непараметрическом подходах.

Таким образом, параметрический метод подтверждения требова­ний к точностным характеристикам систем автоматического управле­
ния позволяет существенно сократить необходимый объем испытаний и может быть рекомендован для внедрения в практику испытаний.

Многомерные задачи подтверждения требований к точностным ха­рактеристикам. При подтверждении требований к точностным ха­рактеристикам нескольких параметров необходимо построить много­мерный толерантный интервал. Индивидуальные требования к вероят­ности Л,,- и доверительной вероятности уj связаны с общими вероят­ностями Rj и у совместного выполнения требований соотношениями

.ftj,- = ; yt = tfy — для независимых параметров;

1 — R^ > (1 — )/k; 1 — уt > (1 — у)/к — для коррелированных пара­

метров с неизвестным коэффициентом корреляции (неравенство Бон- феррони [27]), где к — число исследуемых характеристик.

Так, для R3 =0,95, у = 0,9, к = 5 индивидуальные требования рав­ны R}i * 0,99, У( = 0,99 и для их реализации необходимый объем вы­борки составляет уже п = 473 (двусторонний или толерантный интер­вал) и п = 298 (односторонний толерантный интервал).

Для преодоления лавинообразного увеличения объемов испыта­ний в многомерном статистическом анализе разработан ряд приемов. При этом базовой идеей является сведение многомерной задачи к одномерной.

Наиболее интересные для практических приложений результаты основываются на следующей теореме Р. С. Судакова [88]: если / (х) = / (xj,…. хк) — арифметическая функция, которая возрастает по каждой своей переменной в области определения и является симмет­рической (т. е. не изменяет своих значений при любой перестановке аргументов X:, j = 1,…, Ат), то статистика у = /(в„иП.-. 8min) является нижней у-доверительной границей для значения у = /(вр…, 0^), а у = /(впих’-’ ®шах) является верхней у-доверительной границей для значения y = f( 01,…, 0*), где 6 = (61(…, 0^) — оцениваемый параметр, 0пйп=™п*(01у,…,0*у), 0тах=шахл (91г…Лг), 0,у = (0л)-у-ниж- няя (верхняя) доверительная граница для параметра 0,-, j = 1,…, к.

Рассмотрим ряд практических приложений этой теоремы. В ре­шаемой задаче совместная вероятность выполнения требований к точ­ностным характеристикам связана с вероятностями выполнения тре­бований к каждой отдельной точностной характеристике мульти-

к

пликативной сверткой R = П R, .

/=1 ‘

Пусть подтверждение требований осуществляется автономно для каждой 1-й характеристики, при этом проводится л, испытаний и ре­
гистрируется di отказов. Тогда непараметрической оценкой вероят — ности Л; является оценка вида Rt = l-dj/nj, а оценкой общей вероят-

„ к „

ности R — расчетная оценка R = П Я.

Согласно результатам Р. С. Судакова, оценка R может быть пред­ставлена в виде: R = l-d3KB/n3KB, ще лэкв =min{«f}, d3KB = (і-Я)«5КВ —

округлены до следующего целого числа.

Первый вывод, который можно сделать из полученных результа­тов, — это нецелесообразность проведения различного числа испы­таний т. е. должно выполняться условие щ =… = пк = л. Другой интересный вывод может быть сделан на основе рассмотрения двух

частных случаев: dt = 0 (/ = 1,…, к) и d1 = 1, d2 =… dk = 0.

Для варианта di = 0 эквивалентное число отказов </экв = 0 и доверительные границы для совместной вероятности R совпадают с доверительными границами для частных вероятностей /?(.

Таким образом, объемы испытаний, необходимые для подтвер­ждения всех частных вероятностей выполнения требований к отдель­ным точностным характеристикам, совпадают с объемом испытаний, необходимым для подтверждения требований к совместной вероят­ности.

Для варианта dt = 1 эквивалентное число отказов </экв = 1 и дове­рительные границы для совместной вероятности R совпадают с дове­рительными границами для «слабого» звена R^

Рассмотренный подход нетрудно применить к параметрическому

случаю. Известно [27],что случайная величина К = (хд-х)АУ уже при

п > 5 имеет приближенно нормальное распределение с математичес­ким ожиданием UR (квантиль стандартного нормального распределе­ния) и дисперсией D = l/n + К2/(2(п-1)), что позволяет построить до­верительные границы для UR:

Сравнивая между собой нижние доверительные границы всех ча­стных вероятностей Ri9 можно определить «слабое» звено. Если тре­бования к совместной вероятности R подтверждаются для этого зве­на, то они подтверждаются для всех остальных частных вероятностей и для совместной вероятности в целом. Рассмотренный подход по­
зволяет избежать лавинообразного увеличения объемов испытаний в многомерном случае.

Использование порядковых статистик для демонстрации характе­ристик выдерживания траектории при заходе на посадку. В качестве характеристики выдерживания траектории при заходе на посадку тя­желых самолетов в [29] предлагается использовать максимальные от­клонения от линии курса и глиссады, возникающие между 90 и 30 м и записанные с помощью регистрирующей аппаратуры.

В предположении нормальности распределений вероятностей отклонений от линии курса и глиссады с нулевыми средними значе­ниями максимальные отклонения х (без учета знака) в течение опре­деленного интервала захода описываются распределением Рэлея:

Р(х) = ±е-х2/Ы).

<г

Состоятельной, несмещенной, эффективной оценкой парамет­ра а2 распределения Рэлея является оценка вида:

где х, — максимальное отклонение, зарегистрированное в каждом заходе; п — число заходов на посадку.

Точность оценки характеризуется дисперсией /)(а2) = а4/(2л) или

2/2 22/2 2

доверительным интервалом 6 2п/Х-а/2-с 2л/Ха/2» гДе Ха/2»

Х-а/2 — квантили х2-распределения уровней а/2,1-а/2 соответ­ственно.

При демонстрации характеристики выдерживания траектории за­даются: Xq — порог сигнализации тревоги; P(xq) = 0,95 — вероятность появления максимального отклонения, не большего заданной вели­чины Xq у = 0,9 — доверительная вероятность.

Вероятность Р(х0) определяется соотношением

Л*о) = 1-е-*°/(2°о).

Для P(xq) = 0,95 имеем х0/о0 = 2,4477.

По данным [28] пороги сигнализации тревоги х$ = 75 мка для глиссады и х0 = 25 мка для курса, а заданные значения параметра а будут соответственно: а0 = 30,64 — для глиссады и а0 = 10,21 — для курса.

Для подтверждения требований к параметру а2 могут быть ис­пользованы как точное распределение оценки б2, так и ее нормальная аппроксимация. При использовании точного у}-распределения ре­шающим правилом является o2(2/j)/oq <xj_a(2п) при уровне значи­мости 1 — а = у, где а характеризует ошибку первого рода (вероятность забраковать годную систему).

Планирование объема испытаний осуществляется из условия обес­печения заданных значений вероятностей ошибок первого и второго рода и заданной точности статистического решения, характеризуе­мой расстоянием 8 между нулевой (а2 = Oq ) и альтернативной

(а2 = 8gq ) гипотезами.

При альтернативной гипотезе статистика д2(2л)/(8ао)~ х2(2л) имеет х2_рдспределение.

Зависимость между ос, р, 8, п определяется из соотношения

fi-Xl-qg")

Хр(2л) ’

где р характеризует ошибку второго рода (вероятность принять негод­ную систему).

В табл. 15.2 приведены значения 8 при различных а, Р, п.

Значения 8 Таблица 15.2 п а = 0,01 а = 0,05 р =0,01 р = 0,05 р = 0,01 р = 0,05 5 9,072 5,89 7,156 4,646 10 4,543 3,462 3,802 2,895 20 2,874 2,048 2,516 2,103 30 2,358 2,046 2,110 1,831 60 1,829 1,661 1,686 1,532

При п> 30 можно использовать нормальную аппроксимацию х2- распределения {X2-v)/ylb~U(0M где v — параметр х2-распределе — ния, £/(0, 1) — стандартное нормальное распределение. Тогда слу­чайная величина (a2-al)yfn/ol ~U{0,1) и решающие правила прини­мают более простой вид:

02/oq < + Uy_a/4n — для нулевой гипотезы, ь2І(ьсІ)<ии^/Гп — для альтернативной гипотезы.

Отсюда необходимый объем выборки

Так, при выборе а = р = 0,05 (у=0,9), 5 = 1,1 имеем п = 46.

При жестком ограничении числа испытаний для демонстрации характеристик выдерживания траектории может быть применен дру­гой подход, также основанный на использовании порядковых стати­стик.

Расположим измеренные в каждом заходе на посадку максималь­ные отклонения в порядке возрастания их значений х^ч, Xqv-’ х(пУ При этом функция распределения наибольшей порядковой статисти­ки Х/Лч задается формулой

Р(хо) = Р{х(л) <х} = Р {все хі <х} = Рп (х),

где />(х) = 1-ехр{-х2/(2с2)}.

Решающее правило для демонстрации характеристик выдержива­ния траектории сформируем в виде

^Опр)-1-*

Л*ь) = /о-

где приемочное значение х0 п < х0 обладает тем свойством, что при выполнении условия х(п) — хо пр требование к вероятности непревы- шения максимальным отклонением порога сигнализации тревоги счи­тается подтвержденным с заданной доверительной вероятностью.

В результате поведения простейших математических операций получим:

В табл. 15.3 приведены значения множителя различных значениях п, у, Р0.

п	II о Уф 40	у = 0,95
А= 0,95	А = °>"	А = °*95	II О 8
10	0,72	0,582	0,67	0,541
30	0,932	0,752	0,886	0,714
50	1	0,821	0,975	0,787

Значения множителя

In(l-^l-y) * (1-А)

Таким образом, появляется принципиальная возможность демон­страции соответствия при малом объеме сертификационных летных испытаний.

Применение выборочного метода при проведении сертификацией — ных летных испытаний систем автоматического управления посад­кой самолетов. Существующими отечественными и зарубежными тре­бованиями к точностным характеристикам систем автоматического управления посадкой тяжелых самолетов нормируется вероятность не­выхода основных параметров движения (угловых отклонений от ли­нии курса и глиссады, скорости захода на посадку) из заданной об­ласти допустимых значений. Для демонстрации соответствия этим требованиям должно выполняться необходимое число летных испы­таний «в условиях, с приемлемой точностью представляющих дей­ствительные эксплуатационные условия, и должен быть охвачен диа­пазон изменения параметров, влияющих на поведение самолета при посадке» [29, 95].

В общем случае ожидаемые условия эксплуатации самолета при выполнении посадочных операций по II категории определяют следу­ющие факторы: ветровые возмущения, посадочный вес, центровка, конфигурация самолета, разброс скоростей захода на посадку, раз­брос характеристик радиотехнических средств посадки, разброс па­раметров системы автоматического управления, начальные условия выполнения режима, высота аэродрома, температура наружного воз­духа.

В летных испытаниях не представляется возможным организо­вать полностью рандомизированный эксперимент, т. е. реализацию факторов случайным образом в соответствии с их законами распреде­ления вероятностей, однако можно и целесообразно выделить не­сколько характерных, задаваемых с определенной вероятностью, слоев изменения этих факторов, например [53]:

• ветер продольный попутный, штиль или умеренный встреч­ный, сильный встречный;

• ветер боковой умеренный или сильный;

• посадочная масса малая, средняя, большая;

• центровка передняя, средняя, задняя;

• скорость захода на посадку пониженная, нормальная, повы­шенная;

• курсо-глиссадный радиомаяк трех категорий.

Математической основой обработки информации, полученной в

такой «расслоенной» выборке, является выборочный метод [27].

Пусть рассматриваемая совокупность объема N0 разделена на к слоев объемом Nt каждый. Из каждого слоя извлечена выборка объе-

к

ма л,, при этом суммарный объем выборки обозначим = Хл/- Тог-

/=1

да оценка математического ожидания М совокупности определяется соотношением [27]

где Х/= — 2.1 xij — среднеарифметическое для /-го слоя; х„ —у’-е вы — И/ у’=1

борочное значение измеряемой величины В 1-М слое.

Дисперсия этой оценки

к

ІХдзсд,

-Ц £(*,>•-m/)2’ і -1 j~i

1=1

При пропорциональном отборе и большом объеме исходной со­вокупности Щ принимается

«//«о = Ni/No = Рг

где Pj — вероятность /-го слоя, и выражения оценки математического ожидания и дисперсии этой оценки преобразуются к виду

Если бы случайная выборка объема и0 была взята из всей сово­купности без учета разбиения на слои, то дисперсия среднеарифме­тической оценки была бы

где

U-l /=1

Ел6? +Ел(т» ~м)2-

1=1 i=i

Таким образом, из сравнения (15.3) и (15.4) видно, что диспер­сия оценки математического ожидания при разбиении на слои ока­зывается меньше, чем в случае выборки из всей совокупности.

При неизвестной величине т1 имеем

Помимо пропорционального отбора в выборном методе приме­няется оптимальный отбор.

Рассмотрим опять формулу (15.2). От объемов выборки в ней за­висит только сумма

/=і *

Оптимальным выбором nj можно добиться минимума дисперсии т — Задача оптимизации ставится следующим образом:

= min

/=1

щ > 0,

к

£й,-=°.

/=1

Эту задачу можно свести к задаче поиска безусловного минимума фун-

Приравняв производные этой функции по лу нулю, получим:

р)*) Iп) = Рк<% Iп1 > У = 1. 2….Д-1.

Это условие означает, что лу должны быть пропорциональны.,

/к

откуда окончательно находим: rij = «q Pfij/ ІР,°Г

7 /=і

Заметам, что оптимальный отбор использует более полную ин­формацию в виде дисперсий слоев, которая может быть получена на этапе математического моделирования. Для иллюстрации приведен­ных методов отбора рассмотрим гипотетический пример.

Пусть исследуемый фактор имеет нормальный закон распределе­ния вероятностей с математическим ожиданием М = 0 и дисперсией

Oq = 1. Минимально необходимый объем сертификационных летных ис­пытаний составляет 46. Разделим весь диапазон изменения фактора на три слоя: малое значение с вероятностью 0,1; среднее значение с вероятностью 0,8; большое значение с вероятностью 0,1. Пропорцио­нальный отбор при округлении до целого числа испытаний дает следу­ющие значения объемов выборок в каждом слое: «j = л3 = 5; — 36.

Для определения дисперсий в соответствующих слоях рассматрива­лись усеченные нормальные распределения. Дисперсии усеченных нор­мальных распределений определим по формуле olc =К(F(a),F(b))og,

где коэффициент К зависит от вида усечения; Р(а), F{b) — значения функции распределения случайной величины, соответствующие ниж­ней и верхней границам усечения; значения коэффициента А"для стан­дартного нормального распределения табулированы [59].

Для рассматриваемого случая имеем: о? = о? = 0,438<jg; 2Og

и соответственно лі = = 4; п2 = 38.

Таким образом, пропорциональный отбор рекомендует большее число испытаний при крайних наиболее неблагополучных значениях исследуемого фактора и может быть рекомендован при планировании сертификационных испытаний.